Integrály funkce jedné proměnné
Systematický výklad (Riemannův integrál), metody výpočtu a aplikace.
1. Motivace a interpretace
Integrální počet formalizuje pojem akumulace. Určitý integrál \(\int_a^b f(x)\,dx\) je číslo, které lze interpretovat několika standardními způsoby:
- Orientovaná plocha mezi grafem \(y=f(x)\) a osou \(x\) na intervalu \([a,b]\).
- Celková změna veličiny při známé hustotě změny (např. dráha z rychlosti).
- Práce proměnné síly: \(W=\int_a^b F(x)\,dx\).
Terminologie. Funkce \(F\) je primitivní funkcí k \(f\) na intervalu \(I\),
jestliže \(F'(x)=f(x)\) pro všechna \(x\in I\).
Příklad (akumulace). Je-li \(v(t)\) rychlost, pak změna polohy na \([t_1,t_2]\) je
\[
s(t_2)-s(t_1)=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.
\]
2. Riemannovy součty a definice určitého integrálu
Nechť \(f\) je omezená funkce na \([a,b]\). Zvolme dělení \[ a=x_0 < x_1 < \dots < x_n=b,\qquad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}. \] Pro každý dílek zvolme bod \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\) a definujme Riemannův součet \[ S_n=\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i. \]
Definice (Riemannův integrál).
Funkce \(f\) je Riemannovsky integrovatelná na \([a,b]\), jestliže existuje limita
\[
\int_a^b f(x)\,dx
:=
\lim_{\max \Delta x_i\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i
\]
a je nezávislá na volbě bodů \(\xi_i\).
Pro spojité funkce na \([a,b]\) určitý integrál existuje. V tomto textu budeme pracovat primárně s touto třídou funkcí.
Příklad (konstantní funkce).
Pro \(f(x)=c\) dostaneme
\[
\int_a^b c\,dx = c(b-a).
\]
3. Základní vlastnosti určitého integrálu
Linearita. Pro integrovatelné \(f,g\) a konstantu \(c\) platí
\[
\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx,
\qquad
\int_a^b c f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx.
\]
Addivita vzhledem k intervalu. Pro \(a\le c\le b\) platí
\[
\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.
\]
Záměna mezí.
\[
\int_a^a f(x)\,dx=0,\qquad \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx.
\]
Monotonie. Jestliže \(f(x)\le g(x)\) na \([a,b]\), potom
\[
\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx.
\]
Orientovaná plocha. Je-li \(f\) záporná na části intervalu, integrál tuto část započítává se záporným znaménkem.
Pro geometrický obsah se používá \(\int_a^b |f(x)|\,dx\).
4. Primitivní funkce a neurčitý integrál
Neurčitý integrál je zápis pro množinu všech primitivních funkcí. Pokud \(F'(x)=f(x)\), pak \[ \int f(x)\,dx = F(x)+C, \] kde \(C\in\mathbb{R}\).
Příklad. \(\displaystyle \int 2x\,dx = x^2 + C\).
Příklad. \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\).
5. Základní věta analýzy
Základní věta analýzy (Newton–Leibniz).
Nechť \(f\) je spojitá na \([a,b]\) a \(F\) je primitivní funkce k \(f\) na \([a,b]\).
Potom
\[
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]
Příklad.
\[
\int_0^2 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^2 = 8.
\]
Derivace integrálu s proměnnou horní mezí.
Je-li \(f\) spojitá a \(G(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), pak \(G'(x)=f(x)\).
6. Standardní integrační vzorce
6.1 Mocniny a logaritmus
- \(\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\)
6.2 Exponenciální funkce
- \(\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C\)
- \(\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\quad a>0,\ a\neq 1\)
6.3 Goniometrické funkce
- \(\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C\)
- \(\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C\)
- \(\displaystyle \int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\)
- \(\displaystyle \int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C\)
6.4 Inverzní goniometrické tvary
- \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x + C\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x + C\)
7. Substituční metoda
Substituce. Nechť \(u=g(x)\) je diferencovatelná funkce. Potom
\[
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
\]
U určitého integrálu je vhodné současně transformovat meze:
\[
\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.
\]
Příklad 1.
\[
\int 2x\cos(x^2)\,dx
\quad
(u=x^2,\ du=2x\,dx)
\Rightarrow
\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.
\]
Příklad 2 (určitý integrál s transformací mezí).
\[
\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx
\quad
(u=x^2)
\Rightarrow
\int_{0}^{1} e^u\,du = \left[e^u\right]_0^1 = e-1.
\]
Příklad 3 (lineární substituce).
\[
\int (3x-5)^7\,dx.
\]
Položme \(u=3x-5\), \(du=3\,dx\), \(dx=\frac{1}{3}du\). Potom
\[
\int (3x-5)^7\,dx = \frac{1}{3}\int u^7\,du = \frac{(3x-5)^8}{24}+C.
\]
8. Integrace per partes
Integrace per partes. Z identity \((uv)'=u'v+uv'\) plyne
\[
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
\]
Příklad 1.
\[
\int x e^x\,dx = e^x(x-1)+C.
\]
Příklad 2.
\[
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.
\]
Příklad 3 (opakované použití).
\[
\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2)+C.
\]
9. Racionální funkce a parciální zlomky
Pro racionální funkce \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) je základní postup: (1) provést dělení polynomů, je-li \(\deg P \ge \deg Q\), (2) rozložit \(\frac{P}{Q}\) na parciální zlomky podle rozkladu \(Q\).
Příklad 1 (dělení polynomů).
\[
\int \frac{x^2+1}{x-1}\,dx
=
\frac{x^2}{2}+x+2\ln|x-1|+C.
\]
Příklad 2 (parciální zlomky).
\[
\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,dx
=
\frac{8}{3}\ln|x-1|+\frac{1}{3}\ln|x+2|+C.
\]
10. Goniometrické integrály a substituce
10.1 Integrály tvaru \(\int \sin^m x \cos^n x\,dx\)
- Je-li \(m\) liché, oddělí se jeden faktor \(\sin x\) a použije se substituce \(u=\cos x\).
- Je-li \(n\) liché, oddělí se jeden faktor \(\cos x\) a použije se substituce \(u=\sin x\).
- Jsou-li \(m\) i \(n\) sudé, použijí se vzorce pro poloviční úhel.
Příklad 1.
\[
\int \sin^3 x \cos^2 x\,dx
=
-\frac{\cos^3 x}{3}+\frac{\cos^5 x}{5}+C.
\]
10.2 Poloviční úhel
\[ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}. \]
Příklad 2.
\[
\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C.
\]
10.3 Weierstrassova substituce
Pro integrály racionálních funkcí \(\sin x\) a \(\cos x\) lze použít substituci \( \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt, \) kde \(t=\tan\frac{x}{2}\).
11. Plochy a objemy
11.1 Plocha mezi dvěma funkcemi
\[ S=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx,\quad \text{je-li } f(x)\ge g(x)\text{ na }[a,b]. \]
Příklad.
\[
S=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\frac{1}{6}.
\]
11.2 Objem rotačního tělesa (disky)
\[ V=\pi\int_a^b (f(x))^2\,dx,\quad f(x)\ge 0. \]
Příklad.
\[
V=\pi\int_0^1 x^2\,dx=\frac{\pi}{3}.
\]
11.3 Objem rotačního tělesa (prstence)
\[ V=\pi\int_a^b \left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,dx,\quad f\ge g\ge 0. \]12. Střední hodnota, práce, akumulace
12.1 Střední hodnota funkce
\[ f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Příklad.
\[
f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx=\frac{4}{3}.
\]
12.2 Práce proměnné síly
\[ W=\int_a^b F(x)\,dx. \]12.3 Akumulace z hustoty
\[ Q=\int_a^b \rho(x)\,dx. \]13. Nevlastní integrály
13.1 Nekonečný interval
\[ \int_a^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx, \] existuje-li limita.
Příklad.
\[
\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=1.
\]
13.2 Singularita
\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx := \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,dx = 2. \]14. Numerická integrace (základ)
14.1 Obdélníkové pravidlo
\[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x. \]14.2 Trapézové pravidlo
\[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n)\right), \quad \Delta x=\frac{b-a}{n}. \]
Příklad. Pro \(f(x)=x^2\) na \([0,1]\) a \(n=2\):
\[
T=0.25\left(0+2\cdot 0.25+1\right)=0.375,\quad \int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}.
\]